We have countless hadiths that an Imam must be washed by another Imam, so this is sufficient in proving that Imam Mahdi (a) must have washed his father. Also, we have such hadiths:

الصفَّار في بصائر الدرجات عن أحمد بن محمد وأحمد بن إسحاق عن القاسم بن يحيى، عن بعض أصحابنا، عن أبي عبد الله (عليه السلام) قال: "لمَّا قُبض رسولُ الله (صلى الله عليه وآله) هبطَ جبرئيلُ ومعه الملائكةُ والروحُ الذين كانوا يهبطون في ليلة القدر، قال: ففُتحَ لأميرِ المؤمنين بصرَه فرآهم في منتهى السماوات إلى الأرض، يُغسِّلون النبيَّ معه، ويُصلِّون معه عليه، ويحفرونَ له، واللهِ ما حفَرَ له غيرُهم حتَّى إذا وُضع في قبرِه، نزلوا مع مَن نزل، فوضعوه فتكلَّم وفُتح لأمير المؤمنين سمعه فسمعَه يُوصيهم به فبكى، وسمعهم يقولون: لا نألوه جهدًا، وإنَّما هو صاحبُنا بعدك إلا أنَّه ليس يُعايننا ببصره بعد مرَّتنا هذه، حتى إذا مات أميرُ المؤمنين (عليه السلام) رأى الحسنُ والحسينُ مثل ذلك الذي رأى، ورأيا النبيَّ (ص) أيضًا يُعينُ الملائكةَ مثل الذي صنعوا بالنبيِّ(ص) حتى إذا مات الحسنُ رأى منه الحسينُ مثل ذلك، ورأى النبيَّ(ص) وعليًّا (ع) يُعينان الملائكة، حتى إذا مات الحسينُ رأى عليُّ بن الحسينِ منه مثلَ ذلك، ورأى النبيَّ(ص) وعليًّا والحسنَ يُعينون الملائكة، حتى إذا مات عليُّ بنُ الحسين رأى محمدُ بن عليٍّ مثل ذلك، ورأى النبيَّ(ص) وعليَّا والحسنَ والحسينَ يُعينون الملائكةَ، حتَّى إذا مات محمدُ بنُ عليٍّ رأى جعفرُ مثلَ ذلك، ورأى النبيَّ وعليًّا والحسنَ والحسينَ وعليَّ بن الحسين يُعينون الملائكة، حتى إذا مات جعفر رأى موسى منه مثل ذلك، هكذا يجري إلى آخرنا

The phrase هكذا يجري الى اخرنا at the end means this applies to all the Imams all the way to the last, which means Imam Mahdi (a) washed his father.